Inversion Algorithm of Implied Volatility Based on European Option Pricing Model
【Abstract】 The assumption that the implied volatility is constant in the classic Black-Scholes option pricing model(B-S model)is not consistent with the financial market.In fact,the implied volatility of an option is a function of the price S and the time t.In this dissertation,the concept of implied volatility base surface and fluctuation volatility is proposed in order to construct the implied volatility function 1/2ρ2=1/2f02(y,τ)+f1(y),where f0(y,τ)=α0+α1τ+α2y is the volatility base surface and the f1(y)is fluctuation volatility.Taking 50ETF option as a example,its implied volatility is achieved by simultaneous idenfication of both base surface and small fluctuation.And the error of this algorithm is analyzedThis dissertation consists of four chaptersThe first chapter introduces the research background and significance of the implied volatility in the option pricing model.And the research progress for the implied volatility of the options in China and abroad are illustrated.The ana-lytical formula theory and numerical approximation of the implied volatility are summarized.And the analytical formula solution only performs well for at-the-money.The implied volatility linearization model presented by Isakov is of great reference significance,based on which,a base surface-floating volatility inversion strategy is prosposed to reconstruct the implied volatility of optionIn the chapter two,derivations of the classical B-S model are firstly deduced By the Crank-Nicholson difference(C-N difference)scheme,the 期权定价模型简述 numerical solu-tion of the option price is obtained with constant volatility.Comparation with analytical solution of the pricing formula is implemented,期权定价模型简述 which validate the con-clusion that C-N difference scheme is stable when σ is a constant.In addition.under the assumption that the implied volatility σ is a function related to the time t and the underlying asset price S,a numerical solution of the option price is achievedIn the chapter three,aiming at inverse problem of reconstructing implied volatility,an inversion strategy of the base surface-fluctuation volatility identifi-cation is proposed.The stepwise regression algorithm is used to reconstruct the implied volatility base surface f0(y,τ)=α0+α1τ+α2y.Meanwhile the fluctuation volatility f1(y)is reconstructed 期权定价模型简述 by the derived integral equation,which are dis-cretized by the complex trapezoidal formula,and stably solved by the Tikhonov regularization algorithm.The simultaneous identification of f0(y,τ)and f1(y)may result in the numerical reconstruction of the implied volatility of the option pricing problemIn the chapter four,the financial significance of the base surface-fluctuation volatility inversion strategy is summarized.For the future work with respect to the floating volatility inversion,numerical algorithm can be improved for a better 期权定价模型简述 breakthrough. 更多还原
期权定价模型简述
简述PCP平价公式及应用
Put-CallParity （简称 PCP ）平价公式是经典的期权定价模型之一。因其限制条件较少和公式简洁等因素，该模型在场内外期权市场得以广泛运用。 PCP 平价公式表述的是相同行权价格、相同到期日的欧式无分红期权的认购期权（ C ）、认沽期权（ P ）、标的证券价格（ S ）和行权价格（ K ）之间的关系。其具体公式如下：
C+Ke -r （ T-t ） =P+S
公式中 K 为认购和认沽期权合约的行权价格， Ke -r （ T-t ） 表示对金额 K 折现， r 为无风险利率， T-t 为期权合约剩余期限
到期后，标的证券 S 会出现两种情况。
第一种情况，如果到期标的证券 S 的价格大于 K 期权定价模型简述 元 ，我们观察两种组合的状态：
组合一中的认购期权 C ，由于标的价格大于行权价格，所以投资者选择行权，即用 K 元购买标的证券 S ；而持有的 Ke -r （ T-t ） 元投资于无风险产品，到期正好获得 K 元的回报，用于行权，所以最终投资者只持有标的证券 S 。
组合二中的认沽期权 P ，由于标的价格大于行权价格，所以投资者放弃权利，即不行权，合约价值归零；而持有的标的证券 S 没有任何变化，所以最终投资者只持有标的证券 S 。
因此，当到期标的证券价格 S 大于 K 元时，组合一等于组合二，都是持有标的证券 S 。
第二种情况，如果到期标的证券 S 的价格小于 K 元 ，我们观察两种组合的状态：
组合一中的认购期权 C ，由于标的价格小于行权价格，所以投资者放弃权利，即不行权，合约价值归零；而持有的 Ke -r （ T-t ） 元投资于无风险产品，到期正好获得 K 元的回报，所以投资者最终持有 K 元现金。
组合二中的认沽期权 P ，由于标的价格小于行权价格，所以投资者选择行权，即按照 K 元的价格将手中的标的证券 S 卖出，获得 K 元现金；而持有的标的证券 S ，正好用于行权交割，卖出标的证券，所以投资者最终仍然持有现金 K 元。
因此，当到期标的证券价格 S 小于 K 元时，组合一等于组合二，都是持有现金 K 元。
（严谨地分析还有第三种情况，到期股价正好等于 K 元，此时投资者无论是否行权都一样，要么持有 K 元现金，要么持有价值 K 元的标的证券 S ，同样是组合一等于组合二）
综上所述，到期无论什么情况，组合一总是等于组合二 。那么根据无套利理论来说，此刻组合一也应该等于组合二，如果不等，必然可以此刻进行买入价值较低组合，卖出价值较高组合，进行无风险套利，最终将套利空间填平，使得组合一等于组合二。因此，平价公式成立。
（一）初学的投资者通常无法理解期权价格与哪些因素有关 ，或者关系如何。但是通过上述平价公式，就比较清晰了。
举个例子，其他因素保持不变，如果标的价格 S 上涨，会导致等式右边（ 期权定价模型简述 P+S ）变大，为了保持等式成立，所以 P 要减小，或者 C 增加，所以可以得出认购期权 C 与标的证券价格正相关，认沽期权 P 与标的证券价格 S 负相关；
再比如，其他因素保持不变，行权价格 K 变大，导致等式左边（ C+Ke -rT ）变大，为了保持等式成立，所以 P 要变大，或者 C 要变小，所以可以得出认购期权 C 与行权价格负相关，认沽期权 P 与行权价格正相关。
（二）帮助投资者理解希腊字母的关系
我们知道 Delta 描述的是标的证券价格变动对期权价格变动影响，用数学含义解释，就是期权价格关于标的证券价格的一阶导数，如果我们公式两边同时求 S 的一阶导数，我们可以得到 c/ s= p/ s+1 ，即认购期权的 Delta= 认沽期权的 Delta+1 ，我们在行情软件中查询结果也是符合这个公式的。
Gamma 描述的是标的证券价格变动对 Delta 变动的影响，用数学含义解释，就是 Delta 关于标的证券价格的一阶导数，也是期权价格关于标的证券价格的二阶导数，因此可以得出认购期权的 Gamma= 认沽期权的 Gamma 。从行情软件中查询结果，也同样符合这个公式。
认购的 Vega= 认沽的 Vega
认购的 Theta+rKe -r(T-t) = 认沽的 Theta
例 1 ： C=P+S-Ke -r （ T-t ）
例 2 ： S=C-P+Ke -r （ T-t ）
例 3 ： Ke -r （ T-t ） =P+S-C
例 4 ： S-C=Ke -r （ T-t ） -P
上文中提到 S=C-P+Ke -r （ T-t ） ，即标的证券 S 可以用 C-P+Ke -r （ T-t ） 组合进行替代，如果 S 和组合出现不等，就可以买入低估的资产，卖出高估的资产，进行套利交易。案例如下：
上图是 300ETF 期权某日行情，我们可以统计出以下数据：
套利方式：以行权价 4100 合约为例， S （ 4.264 ）大于 C-P+Ke -r （ T-t ）的组合（ 4.247 ），所以我们可以做空标的证券 S 期权定价模型简述 ，买入组合 , 具体操作如下所示：
上表可知， 26 天到期后无论股价大于 4.1 还是小于 4.1 ，投资者都能获得 0.0169 元收益。如果该收益高于所有投资成本（包含佣金和利息等），则投资者便可以进行套利交易。
当然，实际投资中还需要考虑下单速度，交易连续性，行权交割时效性等实际问题，这些问题会影响套利交易效率 。市场上也有一些交易软件会自动发现套利机会，辅助投资者进行套利交易。